Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле

Если $a_{n} > 0,~$ $a_{n} \to 0$ монотонно, тогда $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}$ причем $|R_{n}| = |S - S_{n}| \leq a_{n+1}$

$S_{2n-1} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} +a_{5} -\dots+ a_{2n-1}$ $S_{2n+1} - S_{2n-1} = a_{2n+1} - a_{2n} < 0,~~~~\{S_{2n-1}\}~-$ убывает $\Rightarrow \{S_{2n-1}\}^{\infty}_{n = 1}~-$ сходиться $\Rightarrow$ $S_{2n-1} \rightarrow_{n \to \infty} S$ $S_{2n} = S_{2n-1} - a_{2n} \to_{n \to \infty} S\mathpunct{:}~~S_{n} \to_{n \to \infty} S$ т.е ряд сходиться $\square$

Если $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}~-$ сходится, $b_{n} \to_{n \to \infty} b$ монотонно, тогда $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}~-$ сходиться

$c_{n} = b_{n} - b \to 0$ монотонно $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \Rightarrow A_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}~-$ ограниченна $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(b_{n} - b) + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(b_{n} - b)~-$ сходится по признаку Дирихле $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b~-$ сходится по монотонности $\square$

Если $A_{k} = \sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ограничен $(|A_{k}| \leq A)$ $b_{n} \to_{n \to \infty} 0$ монотонно, то $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}~-$ сходится

$\tilde{A}_{n} = \sum_{k=m+1}^{n} a_{k},~~n>m,~~m = 0~\tilde{A}_{m} = 0$ $a_{n} = \tilde{A}_{n} - \tilde{A}_{n-1}$ $$\sum_{k = m+1}^{n} a_{k}b_{k} = \sum_{k = m+1}^{n} (\tilde{A}_{k} - \tilde{A}_{k+1})b_{k} = \sum_{k = m+1}^{n} \tilde{A}_{k} b_{k} - \sum_{k = m+1}^{n} \tilde{A}_{k+1}b_{k}=$$ $$\sum_{k = m+1}^{n} \tilde{A}_{k}b_{k} - \sum_{k = m+1}^{n} \tilde{A}_{k}b_{k+1} + \tilde{A}_{n}b_{n} =$$ $$= \sum_{k = m+1}^{n} \tilde{A}_{k}(b_{k} - b_{k-1}) + \tilde{A}_{n}b_{n} - \tilde{A}_{m}b_{m+1}$$ - $b_{n} \to 0,~~\forall{\varepsilon>0}~~\exists{N}~~\forall{n > N}~~|b_{n}| < \dfrac{\varepsilon}{6A}$ $$|\sum_{k = m+1}^{n}| \leq 2A(\sum_{k = m+1}^{n-1} |b_{k} - b_{k+1}| + |b_{n}|) \leq$$ $$ \leq 2A(|b_{m+1}| + |b_{n}| + |b_{n}|) <$$ $$< 2A\left( \dfrac{\varepsilon}{6A} + \dfrac{\varepsilon}{6A} +\dfrac{\varepsilon}{6A} \right) = \varepsilon~~\square(кр.Коши)$$